Los halcones y la fascinante Espiral Logarítmica

Pocas personas relacionarían a priori el comportamiento de un halcón acechando a su presa con la función logaritmo que tanto sufrimiento causa en los cursos de matemáticas.

Sin embargo, la conexión ya la encontró Jakob Bernoulli en uno de sus libros en 1691 en lo que se conoce como la Espiral Logarítmica.

De hecho fue tal su fascinación con las innumerables propiedades de esta trayectoria que pidió que fuera grabada en su tumba al morir. Por desgracia, en la cantera no diferenciaron entre espirales y fue la espiral de Arquímedes la que finalmente se grabó en su lápida en la Catedral de Basilea.

Una trayectoria espiral es muy común como estrategia de desplazamiento. Esta consiste en rotar respecto a un centro a una tasa constante, como las agujas del segundero de un reloj, pero además alejándose de dicho centro.

La espiral más simple de construir, que es probablemente la razón por la que aparece en la lápida de Bernoulli, corresponde a la Espiral de Arquímedes. En dicha espiral se tiene un distanciamiento constante entre dos vueltas completas en cualquier punto de la espiral.

En el caso de la espiral logarítmica si se traza una recta desde el centro en cualquier dirección, el ángulo de corte con la espiral es constante. Esto se traduce en que si el halcón sigue una trayectoria como esta, puede mantener siempre los ojos en su presa sin girar la cabeza.

Si bien una línea recta es el camino más corto, esta trayectoria le permite acercarse sin cambios bruscos de trayectoria si mantiene su presa al centro de la espiral.

Ejemplo estético

Uno de los ejemplos más estéticos de esta espiral se observa en el crecimiento de la concha del nautilus. Una manera natural de construir esta espiral consiste en seguir la secuencia de Fibonacci dada por 1,1,2,3,5,8,13,… en que cada término es la suma de los dos anteriores.

Se comienza con dos cuadrados de área 1 uno al lado de otro y se pone uno de lado 2 abajo luego uno de lado 3 al costado y así sucesivamente (ver figura). Ahora bien ¿y el logaritmo donde aparece?. En realidad es bastante natural, la relación entre la cantidad de vueltas y la distancia al centro de la espiral es logarítmica:

Imagen: Guioteca