Abejas y sus panales: genios de ingeniería y optimización

Si nos adentramos en las profundidades del panal, nos encontramos con una estructura todavía más compleja y maravillosa.

Guía de: Matemáticas

Las abejas construyen sus panales con celdas con la forma de un prisma hexagonal para colocar a sus larvas y almacenar la miel. Esto ya había llamado la atención de Pappus de Alejandría que lo menciona en un ensayo titulado “la sagacidad de las abejas”. Charles Darwin lo estudia en su ya famoso libro “El origen de las especies” y lo describe como una obra de arte de ingeniería en la que se minimiza mano de obra y material y una demostración del principio de selección natural.

Más allá de su belleza innegable ¿Qué lo hace tan especial? Si se trata de economizar perímetro para maximizar área, es bien sabido que la solución es un círculo, y para economizar área para maximizar volumen una esfera. Pero en esta construcción las piezas se ensamblan perfectamente sin espacios perdidos ni sobrelape que no se puede lograr con círculos y esferas. Esto se conoce en matemáticas como un embaldosado y en el caso periódico es la misma figura geométrica la que se repite una y otra vez para generarlo.

Abejas panales

Foto: SCX.HU

La proyección frontal de esta estructura es el embaldosado periódico hexagonal conocido por todos.  Esto de por sí ya es notable, ya que solo es posible lograr embaldosar periódicos del plano con cuadrados, triángulos equiláteros y estos hexágonos y la que logra más área con menor perímetro resulta ser el caso del hexágono regular, cosa que dedujo Pappus motivado por las abejas.

Todavía más complejo

Pero si nos adentramos en las profundidades del panal nos encontramos con una estructura más compleja y maravillosa. La tapa hexagonal está soportada por seis trapecios y en su base inferior nos encontramos con una base de 3 rombos iguales que permiten que se encajen para no dejar intersticios.

En el estudio de las dimensiones óptimas para esta estructura, los matemáticos discreparon con las abejas por una diferencia de dos minutos de arco durante muchos años. Fue el naturalista Giacomo F. Maraldi el que primero midió los ángulos de los rombos de la base del panal. Otro naturalista René Reamur le solicitó al matemático  Samuel Koenig que calculara con los nuevos métodos del cálculo diferencial cuáles eran los ángulos óptimos, lo que dio esa pequeña diferencia. Finalmente una tragedia marítima puso en evidencia un error en unas tablas logarítmicas que habían sido usadas por Koenig y que al ser corregidas la daban la razón a las abejas y su impecable solución.

En las sabias palabras del gran Edgar Alan Poe:

“Abandonando aquella tierra, llegamos en seguida a otra, en la que las abejas y los pájaros son matemáticos de tanto genio y erudición que diariamente dan lecciones científicas de geometría a los sabios del imperio”

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