¿Cómo desenredar los nudos? Una mirada desde las matemáticas y los números primos

Los nudos nos acompañan en el día a día en muchos de los aparatos que usamos.

Guía de: Matemáticas

Una de las obsesiones más antiguas en matemática son los números primos. Una obsesión más que merecida por la profundidad e importancia que tienen para muchas teorías matemáticas. Ya había comentado algo sobre ellos y su presencia en la naturaleza en este artículo. Algunos números primos están incluso prohibidos por sus usos en criptografía como también he comentado.

De hecho el concepto de primalidad es más profundo y general que una propiedad de los números naturales o enteros. Es una propiedad de minimalidad o indescomponibilidad que justamente permite obtener una descomposición de otros elementos de manera única entre estos elementos primos convirtiéndolos en los pilares fundamentales de diversas construcciones. Esto se aplica en situaciones que uno no esperaría fueran del ámbito de las matemáticas como es por ejemplo la teoría de nudos.

Me refiero efectivamente a los nudos tridimensionales como los que hacemos con los cordones en los zapatos.  Fue el matemático francés Alexandre Vandermonde en 1717 el primero en darse cuenta de la relación entre los nudos y sus propiedades topológicas. Por sus aplicaciones en la navegación desde un principio se han tabulado los tipos diferentes de nudos y son muchos los hogares de asiduos marinos que tienen cuadros en que se detallan los tipos de nudos existentes con nombres bastante pintorescos (pueden ver algunos aquí).

nudos

Los nudos nos acompañan en el día a día en todos los aparatos electrónicos que tenemos que enchufar. Es habitual tener que desenredar los nudos que se forman sin que sepamos mucho cómo se formaron. Matemáticamente esto quiere decir que muchos nudos que aparentemente se ven distintos son equivalentes puesto que después de manipular un poco sin cortar logramos volver arreglar el enredo. Las versiones más simples de estos nudos que no podemos obtener de uno a otro son nuestros primos. Fue el matemático Kurt Reidemeister en 1928 el primero en escribir un  libro de teoría matemática de nudos. En este texto demostró el famoso Teorema de Reidemeister que prueba que dos diagramas planos de nudos aparentemente diferentes, pero equivalentes al mismo nudo, siempre pueden ser obtenidos entre sí mediante una secuencia de las llamadas movidas de Reidemeister.  En otras palabras:

“Si podemos obtener un nudo del otro sin cortarlo mediante la manipulación continua de un nudo en el espacio tridimensional, entonces podemos obtenerlo mediante una manipulación en la proyección sobre un plano del nudo que se lleve a cabo usando únicamente una de las tres movidas Reidemeister”

Un ejemplo simple para es que todos los enredos que se nos arman en los cables si ambos extremos estuvieron siempre conectados son en realidad equivalentes al nudo trivial, es decir, sin nudo alguno y, por lo tanto, se pueden desenredar con estas tres movidas básicas.

Las movidas son bastante simples y de hecho explican no solo cómo desenredar los nudos, sino cómo se forman estos nudos. La primera movida es básicamente formar un círculo sobrepuesto sobre un tramo recto de cuerda. La segunda movida es sobreponer dos cuerdas una sobre la otra cruzándose en dos puntos. La tercera movida es un poco más compleja de describir en palabras y corresponde en desplazar una intersección de una cuerda sobre otras dos que se intersectan en un punto al otro lado de esa intersección.

Una importancia no evidente de este resultado es que reduce la solución de un problema tridimensional a una solución en dos dimensiones.

Al igual que con los números primos existen tablas de nudos primos en que en este caso el “tamaño” del nudo se mide en función del número de “cruces”, que quiere decir el número de cruces inevitables que debe dar la cuerda al armar ese nudo al mirarlo en una proyección plana del mismo. En Wikipedia se pueden ver algunos ejemplos.

La próxima vez que se enfrenten a desenredar un nudo pueden entonces sentirse más como matemáticos en la búsqueda de la descomposición minimal.

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