El principio de improbabilidad: ¿Por qué a todos nos ocurren cosas poco probables?

La probabilidad de ganarse el Kino o la Lotería es extremadamente baja, pero lo cierto es que vemos ganadores todo el tiempo.

Guía de: Matemáticas

Resulta paradójico que sea muy común en nuestro día a día que ocurran coincidencias inesperadas. Parece lógico y razonable, dado que son sucesos muy improbables,  que no debieran ser frecuentes. Lo cierto es que la experiencia empírica parece contradecir esta lógica. Todos los días oímos historias de eventos improbables que ocurren. Por ejemplo encontrarse con un amigo cercano en la calle en otro país durante un viaje, ganar la lotería dos veces seguidas, etc…

principio improbabilidad

Foto: Internet

En muchos casos la explicación es sencilla. Un suceso que nos parece muy improbable es en realidad extremadamente probable. Esto se produce porque el azar y las probabilidades son contraintuitivas muchas veces. Tenemos una tendencia a subestimar eventos muy probables y sobreestimar eventos improbables.

Un ejemplo que ocurre todo el tiempo, la probabilidad de ganarse el Kino o la Lotería es extremadamente baja, pero lo cierto es que vemos ganadores todo el tiempo. Lo que ocurre es que la probabilidad de que cualquier persona gane es efectivamente muy baja, pero por otro lado la probabilidad de que nadie gane es baja si son muchos jugando.

Un ejemplo similar y muy famoso se conoce como “el problema del cumpleaños”. En un grupo de 23 personas, la probabilidad que dos de ellos estén de cumpleaños el mismo día y mes del año es de más de un 50%. De hecho, en un grupo de 70 personas es casi imposible que al menos dos de ellos no compartan una fecha de cumpleaños.

Si bien es cierto que es muy improbable que dos personas específicas estén de cumpleaños el mismo día y mes del año, el total de posibles parejas de personas que se pueden formar es muy grande y la probabilidad de que ninguna de esas parejas esté de cumpleaños el mismo día es muy baja.

Una manera gráfica de pensarlo es la siguiente: imaginen un tablero con 365 casillas y supongan que cada persona selecciona al azar una casilla que representa su fecha de cumpleaños. Si realizamos ese experimento 23 veces la probabilidad de que no se repita la fecha es equivalente a que no haya dos personas que seleccionen la misma casilla. Esta manera de plantearlo nos permite hacer un cálculo sencillo.

Para evitar repetir la fecha en el grupo, la primera persona puede seleccionar cualquiera de los 365 días, la segunda solo 364 de los 365, la tercera 363 de los 365 y así sucesivamente hasta la persona 23 que solo tiene 365-22 opciones de 365. Entonces La probabilidad de que no hayan dos personas con la misma fecha es entonces:

principio improbabilidad

Foto: Guioteca

Por lo tanto el complemento, es decir que si haya al menos un par de personas con la misma fecha es 1-0.49=0.51.

Si hacemos el mismo cálculo pero con 70 personas obtenemos:

principio improbabilidad

Foto: Guioteca

Es decir la probabilidad de que haya dos personas con la misma fecha de cumpleaños es de un 99.9%.

El estadístico David J. Hand publicó a mediados de Febrero de este año 2014 un libro que traducido se titula “El principio de Improbabilidad”.

En este libro argumenta matemáticamente que, en efecto, los eventos que podríamos llamar “milagrosos” o “extraordinariamente raros” debieran ocurrir frecuentemente. De hecho se aventura a decir que, en promedio, debiéramos presenciar un “milagro” aproximadamente una vez al mes.

El autor enuncia 5 leyes que, de manera similar  a las 4 leyes de la Termodinámica, fundamentan su principio:

  1. La Ley de la Inevitabilidad
  2. La Ley de los verdaderamente grandes números
  3. La Ley de Selección
  4. La Ley de la Palanca de Probabilidad
  5. La Ley de Suficientemente Cerca

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