Un recurso muy común para generar y motivar el interés por la matemática es proponer desafíos o acertijos que requieren el uso de la matemática. En algunos casos, como los llamados acertijos virales, (ver aquí), su aporte no solo me parece nulo,  sino que contraproducente. En general son ejemplos tramposos bastante mediocres que explotan ambigüedades o se aprovechan de pequeños trucos que en realidad no demuestran una verdadera habilitad matemática.

Por supuesto que esto no siempre es el caso, como lo eran, por ejemplo, los problemas y desafíos que nacían de la genialidad de Martin Gardner que conocimos en este artículo sobre su vida y legado.

Mis favoritos, por los que reconozco una debilidad, son los acertijos que utilizan más bien la lógica proposicional, como el famoso acertijo de las 5 casas de Einstein que ya detallé en otro posteo, o el de los infieles en la isla, que supuestamente usaba Google para elegir entre sus candidatos.

En esta familia, había olvidado por completo un famoso acertijo popularizado por el genial matemático del MIT George Boolos que apareció masivamente por primera vez en el diario italiano la Reppublica el 16 de abril de 1992 y luego, cuando el mismo lo publicó, en The Harvard Review of Philosophy en 1996.

Boolos es una leyenda como matemático, autor de grandes obras como “Logic, Logic, Logic”, “the Logic of Provability” y “Computability and Logic”. Era además un carismático expositor muy original. Por ejemplo, dio una clase sobre el segundo teorema de incompletitud de Gödel, empleando sólo palabras de una sílaba. Además de lograr grandes avances en el campo de la lógica, era un experto en todo tipo de acertijos. Tanto es así que en 1993 llegó a la final regional de Londres de la competencia de palabras cruzadas del Times. Su puntaje se encuentra entre los más altos conseguidos alguna vez por un jugador norteamericano.

Boolos no se atribuyó la autoría del acertijo, indicando que el autor era Raymond Smullyan que es, sin lugar dudas, el más famoso creador de acertijos occidental de todos los tiempos y que merece un posteo aparte. La versión de Boolos provenía de una modificación agregada por John McCarthy. El acertijo es el siguiente:

“Tres dioses A, B, y C son llamados, en algún orden, Verdad, Falso, y Aleatorio. Verdad siempre habla expresando la verdad, Falso siempre habla expresando algo falso, pero la respuesta de Aleatorio es completamente aleatoria pudiendo ser verdadera o falsa. Su tarea es determinar las identidades de A, B, y C haciendo tres preguntas cuya respuesta es “sí” o “no”; cada pregunta debe ser formulada a un único dios. Los dioses entienden el español, pero contestarán todas las preguntas en su propio idioma, en el cual las palabras para Sí y No son ‘da’ y ‘ja’, en algún orden y no se sabe qué significado se asocia a cada palabra (esta es la modificación de McCarthy, la incertidumbre de lo que quiere decir da y ja) .”

Para evitar las dudas más frecuentes, Boolos especificó que: ​

1. Es posible formular más de una pregunta a un mismo dios.
2. La secuencia de preguntas puede plantearse de manera que dependa de las respuestas de cada una. Es decir, la segunda pregunta puede ser diferente según la respuesta a la primera pregunta.
3. La decisión sobre si el dios Aleatorio responderá con la verdad o la falsedad se puede modelar como el lanzamiento de una moneda: si la moneda cae cara dirá la verdad; si cae sello, dirá una mentira.
4. Aleatorio responderá ‘da’ o ‘ja’ toda vez que se le realice una pregunta Sí-No.

Antes de entrar en la solución del acertijo, su dificultad proviene claramente de la presencia de este dios Aleatorio que nos entrega una respuesta que en principio no tiene información alguna y del hecho de que no sepamos si Da es Sí o No. Constatar esto es justamente la clave para resolver este problema. Después de revisar distintas maneras de resolver y explicar el problema decidí dar mi propia manera de resolverlo.

Vamos a resolver casos más simples primero, lo que nos dará la solución al separar el problema en pedazos más simples.

Imaginen primero que fueran solo dos dioses que responden Sí o No entonces basta una sola pregunta, a cualquiera de los dos, por ejemplo “¿Te estoy hablando a ti?”. Si responde Sí es el dios Verdad, y si responde, No es el dios Falso.

Ahora, si además  respondiera Da o Ja tenemos una dificultad extra no menor. Parece ser una buena idea intentar saber primero si es el dios Verdad o el dios Falso. Pero no podemos, como antes, preguntarle algo obvio, porque no sabemos si Da representa Sí o No. Pero si preguntamos a cualquiera de los dos “¿Da es Sí? sí y solo sí ¿Te estoy hablando a ti?”. En que el sí y solo sí solo es verdadero cuando las dos proposiciones son ambas falsas o verdaderas.

Entonces tenemos 4 posibles escenarios para 2 respuestas:

1. Si el dios es Verdad y Da es Sí entonces responderá Da.
2. Si el dios es Verdad y Da es No entonces responderá Da.
3. Si el dios es Falso y Da es Sí entonces responderá Ja.
4. Si el dios es Falso y Da es No entonces responderá Ja.

Por lo tanto, si responde Da, es el dios Verdad; y si responde Ja, es el dios Falso. Noten que no sabemos todavía si Da es Sí o No.

Sabiendo eso, ahora le preguntamos al dios “¿Te estoy hablando a ti?” y si es el dios Verdad, lo que sea que responda corresponderá a Sí; y si es es el dios falso corresponderá, a No.

Volvamos al acertijo original, ahora que ya sabemos cómo trabajar si tenemos a uno de los dioses que no sea Aleatorio, así que ahora buscamos la manera de encontrar a uno que no sea el dios Aleatorio. Para esto preguntamos a cualquiera de ellos (que llamaremos A) “¿Da es Sí sí y solo sí tu eres el dios Verdad sí y solo sí B es el dios Aleatorio?”.

Si A es el dios Verdad o el dios Falso y la respuesta es Da, entonces B es Aleatorio y, por ende, C es el dios Verdad o el dios Falso.

Si A es el dios Verdad o Falso y la respuesta es Ja, entonces B no es el dios Aleatorio y, por lo tanto, es el dios Verdad o el dios Falso.

Si A es el dios Aleatorio, entonces bueno, ni B ni C son el dios Aleatorio.

Es decir, que la respuesta Da a esta pregunta garantiza que C es el dios Verdad o el dios Falso, y la respuesta Ja, garantiza que B es el dios Verdad o el dios Falso.

Ahora volvimos al problema anterior que ya sabíamos resolver.

Ufff, el posteo más largo hasta ahora, pero no podía ser menos con el Acertijo más difícil del mundo.