El viernes 21 de septiembre, el nonagenario matemático británico sir Michael Atiyah anunció a la comunidad matemática que había resuelto la Hipótesis de Riemann con una demostración, además, “simple”. Informó que ese lunes iba a exponerla públicamente en una charla en Heidelberg. El video de esa charla lo pueden ver a continuación (en inglés):

Este anuncio ya ha generado gran controversia y expectación, puesto en las palabras del mismo Atiyah “nadie cree una demostración de la Hipótesis de Riemann, y menos de alguien de 90 años”.

Pero por otro lado este hombre de 90 años ha obtenido los dos más grandes premios de la comunidad matemática durante su carrera, el premio Abel y la medalla Fields. Este problema es uno de los 7 problemas del milenio propuestos por Instituto Clay de Matemáticas en 24 de Marzo del año 2000. Solo se ha resuelto uno de estos 7 problemas, en el año 2003, por Grigory Perelman.

Estamos hablando de un premio de un millón de dólares ofrecido por el Instituto Clay de Matemáticas por un problema que lleva abierto 160 años y que no es primera vez que se anuncia resuelto por diversos matemáticos. Las reglas para obtener el premio y la descripción de lo que se plantea como problema y solución lo pueden encontrar en este link.

Entiendo que la última vez que se hizo un anuncio similar tan abiertamente y público fue en noviembre de 2015 en un chascarro de proporciones de BBC World, en que se daba por hecho que el matemático nigeriano Opeyemi Enoch había ganado el premio, lo que fue rápidamente desmentido por el mismo instituto.

De hecho, rápidamente la comunidad científica se dio cuenta que en la demostración asumía la hipótesis y que en consecuencia solo podría demostrarla llegando a una contradicción finalmente, además de estar lleno de bestialidades y errores de principiante. Por si fuera poco, se descubrió además que la falsa demostración era un plagio y que había sido presentada dos años antes.

Por desgracia para Nigeria, esta no es la primera vez que algo así ocurre. Ya en Julio del 2011 otro matemático Nigeriano Michael Atovigba anunció haber resuelto la hipótesis. Su argumento para validar su resultado era que su paper estaba aceptado en una revista internacional de prestigio y por ende había sido validado. Lo cierto es que esa revista internacional es una de muchas revistas depredadores de segunda (esta de origen Paquistaní) que se hacía pasar por un Journal Británico. El paper en cuestión cita 7 referencias, de las cuales 4 son de Wikipedia.

A estas alturas, los menos versados en matemáticas estarán esperando que aclaremos cual es la Hipótesis de la que estamos hablando. En realidad, es bastante simple de enunciar para aquellos que tengan una base en matemáticas que incluya los números complejos. Podemos resumirla diciendo que propone que “La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2”. En que la función zeta de Riemann es una serie infinita de número complejos definida para valores de z con parte real mayor que 1 como:

ζ(z) = 1 + 2^(−z) + 3^(−z) + 4^(−z) +…

Esta serie ya la conocía el matemático Suizo Leonhard Euler en el año 1737, pero realmente fue estudiada en profundidad por primera vez por el matemático alemán Bernhard Riemann. Los ceros son los valores donde la función vale 0 y los triviales a los que hace referencia la hipótesis son los enteros negativos pares -2, -4,-6, … Además de estos ceros, Riemann sabía que todos los demás ceros era una infinidad y estaban entre las líneas z=0 u z=1 y que eran simétricos respecto al eje z=1/2. Entonces, basado en eso, formuló la conjetura de que en realidad todos los ceros estaban en ese eje de simetría.

El matemático alemán David Hilbert desafió a los matemáticos del siglo 20 con los 23 problemas más importantes y difíciles de las matemáticas en el año 1900 en los que se incluía esta hipótesis. En 1915, el matemático británico Godfrey Hardy demostró que existe una cantidad infinita de ceros en el eje x=1/2 y en 1986 por métodos computacionales se demostró que los primeros 1,500,000,001 ceros no triviales están en ese eje. Actualmente se sabe que las primeras 10,000,000,000,000 soluciones están todas en ese eje.

Los que todavía siguen conmigo se preguntarán ahora por qué es tan importante dónde están los ceros de esta serie tan particular. Su importancia es en otro campo de la matemática y tiene que ver con la distribución de los números primos. Recordemos que un número primo es un entero positivo mayor que 1 que no tienen otros divisores más que 1 y si mismo. He escrito diversas columnas sobre los números primos y su importancia y presencia en matemáticas:

Números primos en la naturaleza: Casos sorprendentes

2017, el año primo: Una mirada matemática y llena de curiosidades sobre este número

¿Cómo desenredar los nudos? Una mirada desde las Matemáticas y los números primos

Los números prohibidos: ¿Por qué estas cifras son evitadas en distintas partes del mundo?

Polymath: La sorprendente colaboración en línea para vencer problemas emblemáticos en Matemáticas

Uno de los problemas más interesantes y desafiantes en matemáticos es cómo se distribuyen los números primos entre sus pares. Se sabe que infinitos, pero que no son “muchos” y su cantidad decrece a medida que son más grandes puesto que el número de posibles divisores aumenta. En efecto tenemos el 2, el 3, 4=2*2, el 5, el 6= 2*3, el 7, el 8=2*2*2, e9=3*3, 10=2*5, el 11, 12=3*2*2, el 13, 14=2*7, 15=3*5, 16=2*2*2*2, etc….

Eratóstenes ya había diseñado un algoritmo para encontrar los primos menores que un cierto número n (ver nota aquí) pero no se tiene hasta el día de hoy una fórmula que diga cual es la cantidad de primos menores que un número n. Esto se conoce como “funciones contadoras de primos”

Lo cierto es que Riemann sí dio una formula contadora de primos. Pero, requiere para poder calcularla conocer todos los ceros no triviales de la función zeta!! Existen por supuesto muchas otras razones que tienen que ver con las generalizaciones de esta función que la hacen aún más importante pero que requieren más que una breve columna para explicarlas.

No debemos olvidar que no estamos ante un resultado dicotómico, es decir, no necesariamente la hipótesis es verdadera o falsa y podría ser indeterminable, que quiere decir que el resultado no se puede demostrar y que, por ende, asumir su veracidad o falsedad no es contradictorio.

Poco antes de terminar esta columna he leído que ya están saliendo detalles que parecen indicar algunos errores lógicos insalvables en esta nueva versión de la demostración que la harían inválida una vez más.