Si hacemos una encuesta en la calle sobre cual es el  actor más popular o la mejor película o canción de todos los tiempos nunca lograremos el mismo consenso transversal que si preguntamos por el teorema más conocido o popular. La respuesta es casi con seguridad el Teorema de Pitágoras.

Recordemos de todos modos de una manera informal este teorema. En un triángulo rectángulo la relación algebraica entre el largo de sus catetos a y b el largo de su hipotenusa c es c^2=a^2+b^2.

Este teorema está en el libro Guinness por tener el mayor número de demostraciones diferentes que son alrededor de 365. Diferentes quiere decir que utilizan argumentos y construcciones que no se deducen de las otras. La descomposición de un número entero en sus factores primos tiene también  una gran cantidad de demostraciones, pero la gran mayoría pasan por los mismos dos argumentos y no se consideran realmente como diferentes.

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El teorema de Pitágoras tiene incluso un récord Guiness.

Una de las primeras demostraciones conocidas es para el caso de catetos 3 y 4 con hipotenusa 5 que aparece en un libro chino de astronomía “Chou Pei Suan Ching” que se data antes de cristo. Pero en realidad el argumento utilizado se puede adaptar al caso general.

Los números 3,4 y 5 son el primer trío pitagórico, es decir, 3 enteros a, b y c tales que a^2+b^c=c^2. Si se quieren generar otros triples posibles se puede comenzar con la siguiente construcción. Tome dos enteros n y m tales que m<n y calcule a=n^2-m^2, b=2nm y c=n^2+m^2. Si n=2 y m=1 recuperamos 3,4, 5. Con n=3 y m=1 obtenemos 8,6, 10 y así sucesivamente.

Este Teorema fue también descubierto por los babilonios que lo utilizaron para calcular la raíz cuadrada de dos con una precisión de cinco decimales (esto corresponde al caso de los dos catetos unitarios). Esto no es trivial porque dicha raíz es un número irracional, es decir, no se expresa como una fracción. Los egipcios construían el triángulo de lados 3, 4 y 5 utilizando una cuerda con 12 nudos equidistantes para la construcción de las pirámides. Hasta nuestros días esta técnica se utiliza en la construcción artesanal para lograr un ángulo recto sin nada más que una cuerda.

Sin embargo, este Teorema lleva el nombre del griego Pitágoras que lo redescubrió alrededor de 1.000 años después. Pero, lo más probable es que este reconocimiento  no le fuera del agrado de Pitágoras. ¿La razón? Este Teorema destruye uno  de los pilares estéticos de esta Escuela al permitir construir trazos cuyo largo es irracional y, por tanto, no representable como una fracción.

La leyenda cuenta  que Hippasus, miembro de la Escuela Pitagórica, fue el autor de la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Su muerte por inmersión  al poco tiempo fue declarada por los pitagóricos como un castigo de los dioses, aunque se dice que en realidad fue un castigo por revelar además a gente fuera de la Escuela cómo construir un dodecaedro inscrito en una esfera.

Un autor curioso

Uno de los autores más curiosos de una demostración del Teorema de Pitágoras es el entonces congresista norteamericano James Garfield en 1876.

Garfield luego se convirtió en el presidente N° 20 de los Estados Unidos y murió después de dos meses de sufrimiento por haber recibido dos balazos en la espalda. El cariño y aprecio que se le tenía fue tan grande que los intentos por salvar su vida fueron enormes y generaron hasta avances tecnológicos.

Alexander Graham Bell inventó el primer detector de metales para localizar una de las balas que no se lograba encontrar en el cuerpo del presidente. Por desgracia, a pesar de que el aparato era funcional, los resortes de la cama impidieron que trabajara  correctamente.

Simon Newcomb junto con un ingeniero naval crearon e instalaron en la habitación del presidente lo que debe ser el primer aire acondicionado de la historia que lograba mantenerla a 11 grados Celsius en pleno verano. Algunas de las demostraciones, incluida la de Garfiled, se pueden ver en este link.